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Einführung in die mathematische Behandlung naturwissenschaftlicher Fragen
Buch
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Fachbuch
1928

Einführung in die mathematische Behandlung naturwissenschaftlicher Fragen

Erster Teil Funktion und graphische Darstellung Differential- und Integralrechnung

Autor/-in
ISBN
EAN
978-3-642-47315-9
9783642473159
Artikel-Nr.
97G23QN
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speech-bubble-svg Beschreibung
Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Mathematik
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Natur
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Naturwissenschaft
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Randwertproblem
Zielgruppe
Research
Inhaltsverzeichnis
Vorbemerkungen.- I. Funktion und graphische Darstellung.- A. Was ist eine Funktion?.- Zuordnungen.- Definition der Funktion.- Beispiele.- Warnungstafeln.- Bezeichnungen.- Nähere Kennzeichnung einer Funktion.- B. Funktionstafel und graphische Darstellung.- Funktionstafel.- Beispiel.- Schaubild.- Das rechtwinklige Koordinaten-system.- Darstellung einer Funktion durch eine Kurve im rechtwinkligen Koordinatensystem 6..- Entspricht jeder gezeichneten Kurve eine Funktion ?.- Koordinatograph.- Millimeterpapier.- Praxis der graphischen Darstellung.- Beispiele für graphische Darstellung.- Weiteres Beispiel: Barometerstand. Pathologische Kurven und Funktionen.- Stetigkeit.- Beispiel für XJnstetigkeit durch Sprung: Zugversuch.- Wie stellt sich der Naturwissenschaftler zur Stetigkeit ?.- Funktion gegeben durch Zeichnung.- C. Formeln und ähnliches für Funktionen.- Festlegung einer Funktion durch eine Formel, Definition o. dgl..- Beispiele.- Mathematisch definierte Funktionen. Absoluter Betrag.- Prinzipielles über Formeln. Stellung des Naturwissenschaftlers zu ihnen.- D. Implizite Funktion, Umkehrfunktion, zusammengesetzte Funktion.- Implizit gegebene Funktionen.- Wie verhält sich der Naturwissenschaftler bei impliziter Definition einer Funktion ?.- Umkehrfunktion. Monotonie.- Beispiel: Quadrat und Quadratwurzel.- Anschluß an die implizite Definition einer Funktion.- Zusammengesetzte Funktion.- Warum sind Umkehrung und Zusammensetzung von Funktionen für den Naturwissenschaftler wichtig ?.- E. Polarkoordinaten und Winkelmessung.- Was sind Polarkoordinaten ?.- Wann gebraucht man Polarkoordinaten ?.- Umrechnung von Polarkoordinaten in rechtwinklige Koordinaten 19..- Winkel-messung. Bogenmaß.- F. Funktionsleitern.- Die Funktionsleiter.- Logarithmische Leiter.- Zwei gleichsinnige Leitern mit zusammenfallenden Anfangspunkten.- Zwei gleichsinnige Leitern mit verschiedenen Anfangspunkten.- Gegensinnige Leitern.- G. Rechenschieber und Rechenmaschinen.- Die vier Hauptleitern des Instruments.- Läufer. Quadrieren und Quadrat-wurzelziehen.- Gleichmäßige Leiter und trigonometrische Leitern.- Drei Läuferstriche.- Multiplikation und Division durch festen Divisor.- Gegenläufige Zunge. Festes Produkt und Division bei festem Dividenden.- Kubikwurzeln.- Allgemeine Ratschläge 26..- Rechenmaschinen.- H. Proportionalität, lineare Funktion und Potenz.- Konstante.- Proportionalität.- Lineare Funktion. Darstellung durch eine gerade Linie.- Gleichförmige Vorgänge.- Bedeutung der Konstanten a und b.- Gleichförmige Bewegung.- Abgeleitete Kurve.- Allgemeine lineare Gleichung.- Zwei gerade Linien. Graphische Lösung eines Gleichungssystems.- Abschnittsform.- Bedeutung der Proportionalität und linearen Funktion für den Naturwissenschaftler.- Lineare Interpolation.- Ausgleichungsgerade.- Potenz y = xu, x positiv.- Gleichseitige Hyperbel y = x.- Das Zeichen ?. Unstetigkeit durch Unendlichwerden. Asymptoten.- Umgekehrte Proportionalität.- Die Funktion y = x2.- Rechenregeln für Potenzen.- Auftreten der Potenz in den Naturwissenschaften.- J. Logarithmenpapier Beschreibung eines funktionalen Zusammenhangs mit Hilfe der Potenz.- Zwei Sorten Logarithmenpapier.- Gerade auf Logarithmenpapier. Exponentialfunktion.- Wie gebraucht der Naturwissenschaftler Logarithmenpapier ?.- Beispiel.- Wachstums- und Ertragsgesetze.- Beispiel.- K. Polynome. Interpolation.- Polynome. Allgemeine Parabeln.- Anwendung zur graphischen Auflösung von Gleichungen.- Allgemeines über Interpolation.- Newtonsches Inter-polationspolynom. Differenzenquotienten.- Differenzenquotientenschema.- Sonderfall der linearen Interpolation.- Äquidistante Argumente. Differenzen und Differenzenschema 46. — Beispiel: Ausdehnung des Wassers.- Inter-polationsformel von Stirling.- L. Trigonometrische und zyklometrische Funktionen.- Definition der trigonometrischen Funktionen.- Periodizität und ähnliches. Sonderwerte.- Graphische Darstellung.- Phasenverschiebung.- Bedeutung des Sinus und Kosinus für den Naturwissenschaftler. Formelzu-sammenstellung.- Trigonometrische Funktionen für kleines Argument.- Zyklometrische Funktionen.- M. Funktionen von zwei und mehr Veränderlichen.- Definitionen.- Beispiele mit formelmäßiger Zuordnung.- Andere Beispiele.- Tabellarische Darstellung. System von Tabellen.- Tafel mit doppeltem Eingang.- Räumliches Koordinatensystem.- Geometrische Darstellung einer Funktion von zwei Veränderlichen durch eine Fläche.- Andeutung über den n-dimensionalen Kaum.- Stetigkeit.- Bemerkung über implizit definierte Funktionen einer Veränderlichen.- Implizite Definition einer Funktion zweier Veränderlicher.- Zustandsgieichung und Zustands- fläche.- Räumliche Polarkoordinaten und Kugelkoordinaten.- Funktionen des Ortes.- Netztafeln.- Netztafel als Darstellung einer Fläche in kotierter Projektion durch Schichtlinien.- Netztafeln auf Logarithmen« und Dreieckspapier.- Nachteile der Netztafeln.- Allgemeines über Leitertafeln.- Zwei wichtige Typen von Leitertafeln. Beispiele.- II. Differential- und Integralrechnung.- A. Ableitung und unbestimmtes Integral.- Steigen und Fallen einer Kurve.- Steigungsmaß der überall gleichmäßig ansteigenden geraden Linie.- Gleichförmige Bewegung. Geschwindigkeit.- Ansteigen einer beliebigen Kurve. Ableitung und abgeleitete Kurve.- Ableitung als Geschwindigkeit.- Stammfunktion oder unbestimmtes Integral.- Integrationskonstante. Integration als Umkehroperation zur Differentiation.- Beispiele. Differenzieren des Quadrates, des Sinus und Kosinus.- Etwas über Differenzier- und Integrierregeln. Summe und konstanter Faktor.- Anwendung: Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit.- Nichtdifferenzierbar- keit.- Bemerkungen zur Praxis des Differenzierens.- Differenzieren von Funktionen mehrerer Veränderlicher. Partielle Ableitungen 78..- B. Verschiedene Anwendungen der Ableitung. Höhere Ableitungen.- Positive Ableitung bedeutet Steigen, negative Fallen einer Kurve.- Gipfel- und Talpunkte (Maxima und Minima).- Veranschaulichungen.- Beispiele.- Extrema in Ecken und Spitzen.- Bemerkungen über den Sprachgebrauch.- Größter und kleinster Wert einer Funktion.- Wagerechte Tangente nicht immer gleichbedeutend mit Extremum.- Zweite Ableitung. Beschleunigung.- Steigen und Fallen der ersten abgeleiteten Kurve. Erhabenheit und Hohlheit der Urkurve 83..- Nochmals Maximum und Minimum. Beispiele.- Beispiel: Methode der kleinsten Quadrate, direkte Beobachtungen gleicher Genauigkeit.- Wann hat eine quadratische Gleichung reelle Wurzeln ?.- Wendepunkte.- Punkte, in denen mehrere Ableitungen verschwinden..- Höhere Ableitungen.- Maxima und Minima bei Funktionen mehrerer Ver-änderlicher. Sattelpunkte 86..- Beispiel: Ausgleichungsgerade durch einen Punkthaufen. Korrelationskoeffizient. Vermittelnde Beobachtungen.- Etwas über Variationsrechnung.- Kurvendiskussion.- Näherungs-weise Auflösung von Gleichungen.- Newtonsches Verfahren.- Regula falsi.- Beispiel 91..- C. Differential und Funktionsdifferenz.- Was ist ein Differential?.- Ableitung als Differentialquotient. Differential bei der Stammfunktion.- Differenzierregel für die Umkehrfunktion.- Quadratwurzel und zyklometrische Funktionen.- Subtangente und Subnormale der Parabel.- Anlaufen von Metallen.- Bedeutung des Differentials. Funktionsdifferenz und Differential.- Ersatz der Funktionsdifferenz durch das Differential. Fehlerrechnung.- Rechnen mit kleinen Größen.- Grundformel der Differentialrechnung.- Proportionalität im Kleinen und Linearisierung.- Beispiel: Lichtdurchgang durch eine Platte 104..- Rechnerische Erklärung der Ableitung 104..- Warnungstafeln. Natürlicher Wert unbestimmter Ausdrücke. Unendlich kleine Größen.- Sekante und Tangente.- Mittlere Geschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit.- Höhere Differentiale.- Mittelwertsatz.- Taylorsche Entwicklung.- Andeutung über Fouriersche Reihen.- Differential bei Funktionen mehrerer Veränderlicher.- D. Bestimmtes Integral und Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.- Differential als Rechtecksstreifen an der abgeleiteten Kurve.- Differentialsumme als Rechteckssumme und als Erhebungssumme.- Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung, erste Fassung.- Bestimmtes Integral. Fundamentalsatz, zweite Fassung.- Beispiel.- Anwendung: Mechanische Arbeit.- Allgemeines Integrationsprinzip. Beispiele.- Positive und negative Flächen. Ecken und Sprünge.- Beliebige Rechteckstreppen.- Trapezregel.- Simpsonsche Regel.- Beispiel für Trapezregel und Simpsonsche Regel: Berechnung von n.- Rechteckstreppen zu einem Sehnenzuge und zu einer Tangentenkette der Urkurve.- Graphische Integration.- Flächeninhalt als Stammfunktion. Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Grenze. Fundamentalsatz, dritte Fassung.- Grundsätzliches zur Differentialmethode.- E. Differenzier- und Integrierregeln.- Allgemeines.- Differenzieren und Integrieren einer Summe.- Differenzieren eines Produkts. Ableitung der Potenz. Binomialformel.- Integration der Potenz. Fläche der Parabel. Inhalte von Kegel und Kugel.- Teilintegration.- Differenzieren eines Quotienten. Fehler bei der Dichtebestimmung nach der Auftriebsmethode.- Ableitung des Kehrwertes. Kompressibilität eines Gases.- Etwas über das Potential.- Ableitung des Tangens. Tangentenbussole.- Differenzieren der Umkehrfunktion.- Differenzieren der zusammengesetzten Funktion. Kettenregel und Invarianz des Differentials.- Beispiele zur Kettenregel.- Spiegelungs- und Brechungsgesetz.- Minimalablenkung beim Prisma.- Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten.- Elastische Schwingungen und ihre Differentialgleichung.- Etwas vom Wechselstrom.- Differenzieren einer Gleichung.- Differenzieren und Integrieren einer Potenz mit gebrochenem Exponenten. Arbeit bei adiabatischer Ausdehnung eines Gases.- Einführung einer neuen Veränderlichen in einem Integral (Substitutionsregel). Trennung der Veränderlichen in einer Differentialgleichung.- Beispiele.- Anwendung: Arbeit eines elektrischen Stromes.- F. Natürlicher Logarithmus und Exponentialfunktion.- Problem der Integration von.- Hyperbeltrapez In x als Stammfunktion zu x1 —.- Zeichnerische und numerische Untersuchung von y = In x.- In x als Logarithmus.- Anwendung: Arbeit bei isothermer Ausdehnung eines Gases. Carnotscher Kreisprozeß.- Logarithmisches Differenzieren.- Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus: natürliche Exponentialfunk-tion.- Natürlicher Logarithmus und Zehnerlogarithmus.- Potenz-reihe für In (1 + x).- Barometrische Höhenformel.- Poissonsches Gesetz für adiabatische Ausdehnung eines Gases.- Ableitung des Zehnerlogarithmus. Genauigkeit des Rechenschiebers.- Beliebige Logarithmen.- Anschauliches zur Exponentialfunktion.- Differenzieren und Integrieren der Exponentialfunktion.- Beispiele: Gedämpfte Schwingungen, Gaußsche Fehlerkurve, Plancksches Strahlungsgesetz.- Hyperbelfunktionen.- Potenzreihe für e. Berechnung von e.- Grenzwertdarstellungen für e und ex.- Anwachsen eines Kapitals. Organisches Wachstum.- Diffe-rentialgleichung der Exponentialfunktion.- Beispiele: Lichtabsorption, Kolorimetrie, Radiumzerfall, langsame Entladung einer Leidener Flasche, barometrische Höhenformel, Seilreibung.- Exponentielle Annäherung an einen Grenzwert. Ertragsgesetz von Mitscherlich.- Beispiele: Einschalten eines elektrischen Stromes. Fall mit Luftwiderstand. Abkühlungsgesetz von Newton. Weber-Fechnersches Gesetz der Psychologie. Noch einmal Mitscherlichs Ertragsgesetz.- Zuckerinversion.- Chemische Reaktionen. Massenwirkungsgesetz.- Zweimolekülreaktion.- Wachstumsgesetz von Robertson.- Schlußbemerkung.- Namen- und Sachverzeichnis.
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Herausgeber/-in
Autor/-in
Publikation
Deutschland
01.01.1928
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Sprache
Deutsch
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Softcover
220 Seiten
24 cm
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17 cm
(Breite)
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(Tiefe)
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