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Formeln und Tabellen der mathematischen Statistik
Buch
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Fachbuch
1966

Formeln und Tabellen der mathematischen Statistik

ISBN
EAN
978-3-642-49376-8
9783642493768
Artikel-Nr.
DR55PGN
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VI Ein Beispiel für viele sei aus dem Abschnitt Testverfahren hervorgehoben. Hypothesen werden in der neuen Darstellung nicht mehr "angenommen" oder "abgelehnt", sondern je nach dem experimentellen Befund ent weder "nicht verworfen" oder "verworfen". Damit wollen wir dem weitverbreiteten Irrtum entgegenarbeiten, daß mit der "Annahme einer Hypothese" ihre Richtigkeit "statistisch nachgewiesen" sei. Wenn sich Hypothese und Versuchsergebnis nicht widersprechen, so ist es sinnvoll, die Hypothese (gewissermaßen als Arbeitshypothese) bei zubehalten, sie also nicht zu verwerfen. Keinesfalls (!) ist bei dieser Sachlage bewiesen, daß sie richtig ist. Stehen Hypothese und Versuchs ergebnis im Widerspruch zueinander, so muß man die Hypothese zugunsten einer Gegenhypothese verwerfen. Das ist eine echte Ent scheidung: Die Hypothese ist falsch. Die von U. GRAF in der ersten Auflage gewählte zweckmäßige Anordnung der Stichworte ließ sich bei dem erweiterten Umfang des Werkes leider nicht mehr verwirklichen. Dagegen haben wir, ebenso wie früher, die wichtigsten Formeln durch eine Reihe kurzer Beispiele erläutert. Man kann darüber streiten, ob Beispiele in ein Tafelwerk gehören. Die freundliche Aufnahme dieses Teils in den früheren Be sprechungen hat uns jedoch ermutigt, die Zahl der Beispiele sogar noch etwas zu vermehren.
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Statistik
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Varianz
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abhängige Stichproben
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partielle Korrelation
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unabhängige Stichproben
Zielgruppe
Research
Inhaltsverzeichnis
A. Formeln.- 1 Formeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.- 2 Verteilungen mit sprunghaft veränderlichem Merkmal (diskrete Verteilungen).- 2.1 Allgemeine diskrete Verteilung.- 2.2 Hypergeometrische Verteilung.- 2.3 Binomialverteilung (Bernoulli-Verteilung).- 2.4 Poisson-Verteilung.- 2.5 Negative Binomialverteilung.- 3 Verteilungen mit stetig veränderlichem Merkmal (stetige Verteilungen).- 3.1 Allgemeine stetige Verteilung.- 3.2 Normalverteilung (Gauß-Verteilung).- 3.3 t-Verteilung (Student-Verteilung).- 3.4 x2-Verteilung (Helmert-Pearson-Verteilung).- 3.5 F-Verteilung (Fisher-Verteilung).- 3.6 Gamma-Verteilung.- 3.7 Beta-Verteilung.- 3.8 Exponentialverteilung (Weibull-Verteilung).- 3.9 Doppelte Exponentialverteilung.- 3.10 Ungleichungen von TSCHEBYSCHEFF und CAMP-MEIDELL.- 3.11 Übersicht über die wichtigsten eindimensionalen Verteilungen.- 4 Mehrdimensionale Verteilungen.- 4.1 Zweidimensionale diskrete Verteilungen.- 4.2 Zweidimensionale stetige Verteilungen.- 4.3 Beziehungen über Momente zweidimensionaler Verteilungen.- 4.4 p-dimensionale Verteilungen.- 4.5 Sonderfälle mehrdimensionaler Verteilungen.- a) Zweidimensionale Normalverteilung.- b) p-dimensionale Normalverteilung.- c) Polynomische Verteilung.- d) Verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung.- 5 Kenngrößen einer Verteilung, Zufallsschranken, Vertrauensgrenzen, Toleranzgrenzen.- 5.1 Stichprobe; abgeleitete statistische Kenngrößen.- a) Einzelwerte (ohne Klasseneinteilung).- b) Klasseneinteilung.- c) Mittelwert x.- d) Zentralwert (Median) x.- e) Varianz s2 und Standardabweichung s.- f) Spannweite.R.- g) Variationszahl (Variationskoeffizient) V.- h) Schiefe g1.- 5.2 Schluß von einer bekannten Gesamtheit auf die Stichprobe. Zufallsschranken, ZufaUsbereich.- a) Zufallsschranken bzw. -bereiche bei Normalverteilung.- Einzelwert.- Extremwerte.- Mittelwert.- Zentralwert (Median).- Varianz und Standardabweichung.- Spannweite.- Variationszahl (Variationskoeffizient).- Mittelwertsunterschied zweier unabhängiger Stichproben.- Varianzverhältnis zweier unabhängiger Stichproben.- b) ZufaUsschranken bzw. -bereiche bei Binomialverteilung.- c) Zufallsschranken bzw. -bereiche bei Poisson-Verteilung.- d) Zufallsschranken bzw. -bereiche bei beliebiger Verteilung.- 5.3 Schluß von der Stichprobe auf die Gesamtheit. Vertrauensgrenzen (Konfidenzgrenzen), Vertrauensbereich (Konfidenzbereich).- a) Allgemeine Vertrauensgrenzen, allgemeiner Vertrauensbereich.- b) Vertrauensgrenzen bzw. -bereiche bei Normalverteilung.- Mittelwert.- Varianz und Standardabweichung.- Variationszahl (Variationskoeffizient).- Schiefe.- c) Vertrauensgrenzen bzw. -bereiche bei Binomialverteilung.- d) Vertrauensgrenzen bzw. -bereiche bei Poisson-Verteilung.- e) Vertrauensgrenzen bei beliebiger stetiger Verteilung.- 5.4 Toleranzgrenzen und Toleranzbereich.- a) Toleranzgrenzen und -bereiche bei Normalverteilung.- b) Toleranzgrenzen und -bereiche bei beliebiger stetiger Verteilung.- 5.5 Ausreißerkriterien bei normaler Gesamtheit.- a) Ausreißerschranken für die Extremwerte einer Stichprobe.- b) Ausreißerschranken für die größte von k Varianzen.- 6 Testverfahren.- 6.1 Verträglichkeit eines Sollwertes mit einem aus einer Stichprobe berechneten Kenngrößenwert (Parametertest).- 6.2 Vergleich von Mittelwerten bei (angenähert) normalen Grundgesamtheiten.- a) Allgemeines Verfahren.- b) Vergleich der Mittelwerte bei zwei unabhängigen Stichproben.- c) Vergleich der Mittelwerte bei zwei abhängigen (verbundenen) Stichproben (paarweiser Vergleich).- d) Prüfen mehrerer Mittelwerte von Normalverteilungen (mit unbekannter aber gleicher Varianz) auf Gleichheit.- 6.3 Vergleich der Lage (Mittelwert, Zentralwert u. a.) von zwei beliebigen Grundgesamtheiten.- a) Unabhängige Stichproben.- b) Abhängige Stichproben (verbundene Stichproben).- 6.4 Vergleich von Varianzen oder Standardabweichungen bei (angenähert) normalen Grundgesamtheiten.- a) Allgemeines Verfahren.- b) Vergleich zweier Standardabweichungen (Varianzen).- c) Prüfen mehrerer Varianzen von Normalverteilungen auf Gleichheit.- 6.5 Vergleich der Varianzen bzw. Streuungen von zwei beliebigen stetigen Gesamtheiten.- 6.6 Vergleich der Grundwahrscheinlichkeiten von Binomialverteilungen.- a) Vergleich der Grundwahrscheinlichkeiten von zwei Binomialverteilungen.- b) Vergleich der Grundwahrscheinlichkeiten von k Binomialverteilungen.- 6.7 Vergleich der Parameter von Polynomialverteilungen.- 6.8 Vergleich der Mittelwerte von Poisson-Verteilungen.- a) Allgemeines Verfahren.- b) Vergleich der Mittelwerte von zwei Poisson-Verteilungen.- c) Vergleich der mittleren Ereigniszahlen je Bezugseinheit bei zwei Poisson-Verteilungen.- d) Vergleich der Mittelwerte von k Poisson-Verteilungen.- 6.9 Vergleich einer beobachteten mit einer vorgegebenen Verteilung (Anpassungs-Tests).- 6.10 Test der Hypothese, daß zwei Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit stammen.- a) Unabhängige Stichproben.- b) Abhängige Stichproben (verbundene Stichproben).- 7 Varianzanalyse (Streuungszerlegung).- 7.1 Einfache Zerlegung; gleiche Besetzungszahlen für alle Gruppen.- a) Das Modell mit systematischen Komponenten.- b) Das Modell mit Zufallskomponenten.- 7.2 Einfache Zerlegung mit ungleichen Besetzungszahlen der Spalten oder Gruppen.- a) Das Modell mit systematischen Komponenten.- b) Das Modell mit Zufallskomponenten.- 7.3 Zweifache Zerlegung, zwei Einflußgrößen; gleiche Besetzungszahlen für alle Zellen.- a) Das Modell mit systematischen Komponenten.- b) Das Modell mit Zufallskomponenten.- c) Das Modell mit systematischen Komponenten und Zufallskomponenten (gemischtes Modell).- 7.4 Das Modell ohne Wechselwirkung.- a) Das Modell mit systematischen Komponenten.- b) Das Modell mit Zufallskomponenten.- c) Das Modell mit systematischen Komponenten und Zufallskomponenten (gemischtes Modell).- 7.5 Das „Schachtelmodell“ mit drei (oder mehr) Zufallskomponenten.- 7.6 Verteilungsunabhängige Testverfahren.- a) Einfache Zerlegung.- b) Zweifache Zerlegung mit n = 1.- 7.7 Kostenbetrachtung bei varianzanalytischen Modellen mit Zufallskomponenten.- 8 Korrelation.- 8.1 Zweidimensionale Normalverteilung.- a) Berechnung von r aus n Wertepaaren.- b) Berechnung von r bei gleichabständiger Klasseneinteilung.- c) Testverfahren und Vertrauensbereiche.- 8.2 Mehrdimensionale Normalverteilung.- a) Partielle Korrelation.- b) Multiple Korrelation.- 8.3 Zweidimensionale nichtnormale Verteilungen.- a) Prüfung der Unabhängigkeit in einer (k · l) Kontingenztafel bei quantitativen oder qualitativen Merkmalen.- b) Spearmansche Rangkorrelation.- c) Kendallsche Rangkorrelation.- 8.4 Mehrdimensionale nichtnormale Verteilungen.- 9 Regression.- 9.1 Einfache Regression.- a) Modelle.- b) Auswertung der Stichprobe.- c) Testverfahren.- d) Vertrauensbereiche.- e) Toleranzbereiche.- 9.2 Mehrfache Regression.- a) Modelle.- b) Auswertung der Stichprobe.- c) Testverfahren.- d) Vertrauensbereichc.- e) Toleranzbereiche.- 10 Kontrollkarten.- 10.1 Kontrollkarten für meßbare Merkmale.- a) Bestimmung der Prüfgrößen.- b) Kontrollkarten ohne Berücksichtigung von Toleranzgrenzen.- Mittelwertkarte (x-Karte).- Zentralwertkarte (x-Karte).- Standardabweichungskarte (s-Karte).- Spannweitenkarte (R-Karte).- Karte für die Variationszahl (Variationskoeffizient).- Extremwertkarte ohne Gang in der Fertigung.- c) Kontrollkarten zur Überwachung der „mittleren Lage“ einer Fertigung mit vorgeschriebenen technischen Toleranzgrenzen.- Mittelwertkarte (x-Karte).- Zentralwertkarte (x-Karte).- Extremwertkarte mit Gang in der Fertigung.- 10.2 Kontrollkarten für die Zahl fehlerhafter Einheiten (Stücke).- x-Karte.- p-Karte.- 10.3 Kontrollkarten für die Zahl der Fehler.- c-Karte.- u-Karte.- 11 Prüfpläne.- 11.1 Allgemeines.- 11.2 Einfachpläne für stetig veränderliche Merkmale.- a) Einseitig vorgegebene Toleranzgrenze Tu bzw. T0.- b) Zweiseitig vorgegebene Toleranzgrenzen (Tu; T0).- c) Durchschlupf und mittlerer Prüfaufwand.- 11.3 Einfach- und Doppelpläne für Ereigniszahlen.- a) Allgemeines.- b) Einfachpläne.- c) Doppelpläne.- d) Ermittlung der Probengröße und der Annahmezahl eines Einfachplans bei vorgegebener Annahmekennlinie mit Hilfe der arc sin-Transformation.- e) Prüfplansammlungen.- 11.4 Folgepläne (Folgetests) für stetig veränderliche Merkmale (messende Prüfung).- a) Test zur Beurteilung des Schlechtsanteils oder des Mittelwerts einer Liefermenge bei bekannter Varianz der Fertigung.- b) Test zur Beurteilung des Mittelwerts bei unbekannter jedoch fester Varianz der Fertigung (Barnard-Folgetest).- c) Test zur Beurteilung des Schlechtanteils oder der Varianz bei bekanntem Mittelwert der Fertigung.- d) Test zur Beurteilung der Varianz bei unbekanntem jedoch festem Mittelwert der Fertigung.- e) Test zur Beurteilung des Schlechtanteils oder der Qualitätszahl einer Liefermenge bei unbekannter Varianz der Fertigung (WAGR-Test).- 11.5 Folgepläne (Folgetests) für Ereigniszahlen.- a) Gut-Schlecht-Prüfung.- b) Prüfung für (bezogene) Ereigniszahlen (poissonverteiltes Merkmal).- 11.6 Gut-Schlecht-Prüfung bei kontinuierlicher Fertigung (Continuous Sampling).- a) Dodge-Plan (einstufig).- b) Zweistufige Pläne.- c) Mehrstufige Pläne.- 11.7 Vergleich zweier Gesamtheiten mit Hilfe „ungleicher Paare“.- 12 Funktionen von Zufallsgrößen (Merkmaltransformation; Streuungsfortpflanzung).- 12.1 Einfacher Zusammenhang; Merkmaltransformation.- 12.2 Mehrfacher Zusammenhang; Streuungsfortpflanzung.- B. Beispiele.- Beispiel 1: Berechnung von Mittelwert, Zentralwert, Varianz, Standard-abweichung und Variationszahl bei kleinem Stichprobenumfang.- Beispiel 2: Berechnung von Mittelwert, Zentralwert, Varianz, Standardabweichung und Schiefe bei großem Stichprobenumfang (gleichabständige Klasseneinteilung).- Beispiel 3: Graphische Ermittlung von Mittelwert und Standardabweichung im Wahrscheinlichkeitsnetz.- Beispiel 4: Zufallsschranken.- Beispiel 5: Vertrauensgrenzen bzw. -bereiche.- Beispiel 6: Toleranzbereiche.- Beispiel 7: Ausreißerschranke.- Beispiel 8: Anwendung des Binomialpapiers.- Beispiel 9: Verträglichkeit zwischen Kenngröße einer Stichprobe und Sollwert.- Beispiel 10: Mittelwertvergleich bei zwei unabhängigen Stichproben.- Beispiel 11: Mittelwertvergleich bei zwei verbundenen Stichproben (paarweiser t-Test, Vorzeichen-Rangfolge-Test von WILCOXON).- Beispiel 12: Vergleich von Varianzen bei (angenähert) normal verteilten Merkmalwerten in den Grundgesamtheiten.- Beispiel 13: Vergleich der Grundwahrscheinlichkeiten von Binomialverteilungen.- Beispiel 14: Vergleich einer beobachteten mit einer vorgegebenen Verteilung.- Beispiel 15: Einfache Streuungszerlegung.- Beispiel 16: Zweifache Streuungszerlegung; eine Beobachtung je Zelle.- Beispiel 17: Korrelationsanalyse bei zweidimensionaler Normalverteilung.- Beispiel 18: Einfache Regressionsanalyse.- Beispiel 19: Mehrfache Regressionsanalyse.- Beispiel 20: Kontrollkarten für ein meßbares Merkmal ..- Beispiel 21: Kontrollkarte für die Zahl fehlerhafter Einheiten (Stücke).- Beispiel 22: Kontrollkarte für die Zahl der Fehler.- Beispiel 23: Ermittlung von Plänen für messende Prüfung mit Hilfe des doppelten Wahrscheinlichkeitsnetzes.- Beispiel 24: Bestimmung der Annahmekennlinie (Operations-Charakteristik) eines Einfachplans für messende Prüfung.- Beispiel 25: Schätzung der Schlechtanteile pU und p0 im Los aus der Summengeraden G einer Probe der Größe n im einfachen Wahrscheinlichkeitsnetz.- Beispiel 26: Ermittlung eines Einfachplans für Gut-Schlecht-Prüfung.- Beispiel 27: Bestimmung der Annahmekennlinie (Operations-Charakteristik) eines gegebenen Prüfplans (N;n; a) für Gut-Schlecht-Prüfung.- Beispiel 28: Folgeplan (Folgetest) für Gut-Schlecht-Prüfung.- Beispiel 29: Abgangslinie im Lebensdauernetz.- Beispiel 30: Anwendung des logarithmischen Wahrscheinlichkeitsnetzes.- C. Tabellen.- Häufig gebrauchte Konstanten; griechisches Alphabet.- Tabelle C 1: Dichtefunktion der Normalverteilung.- Tabelle C 2: Summenfunktion der Normalverteilung.- Tabelle C 3: Fläche unter der Normalverteilung.- Tabelle C 4: Schwellenwerte t1 - ?; f der t-Verteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 — ? (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad f.- Tabelle C 5: Schwellenwerte t1_(?/2):ƒ der t-Verteilung zur statistischen Sicherheit S — 1 — ? (bei zweiseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad ƒ.- Tabelle C 6: Schwellenwerte X12-?:ƒ der x2-Verteilung zur Wahrscheinlichkeit 1 — ? in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad ƒ.- Tabelle C 7: Schwellenwerte F1_?(f1; ƒ2) der F-Verteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 — ? = 95% (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit von den Freiheitsgraden f1 und ƒ2.- Tabelle C 8: Schwellenwerte F1_?(ƒ1; ƒ2) der F-Verteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 — ? = 97,5% (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit von den Freiheitsgraden f1 und ƒ2.- Tabelle C 9: Schwellenwerte F1_?(f1; ƒ2) der F-Verteilung zur statistischen Sicherheit S=1 — ? = 99% (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit von den Freiheitsgraden f1 und ƒ2.- Tabelle C 10: Schwellenwerte F1_?(f1; ƒ2) der F-Verteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 — ? = 99,5% (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit von den Freiheitsgraden f1 und ƒ2.- Tabelle C ll: Schwellenwerte w1_?(n) der Verteilung der standardisierten Spannweite w = w(n) = R/o.- Tabelle C 12: Schwellenwerte q1_?(ƒ;p) der Verteilung der studentisierten Spannweite q zur Sicherheit S = 95% (bei einseitiger Abgrenzung).- Tabelle C 13: Schwellenwerte q1-?(f;p) der Verteüung der studentisierten Spannweite q zur Sicherheit S = 99% (bei einseitiger Abgrenzung).- Tabelle C 14: Zahlenwerte k(n; 1 - ?).- Tabelle C 15: Werte für y(p) zur Transformation y = arc sin ?p.- Tabelle C 16: Werte für r(z) zur Transformation z=½ln 1+r/1-r- Tabelle C 17: Faktoren r und v zur Abgrenzung zweiseitiger Toleranzbereiche bei Normalverteilung.- Tabelle C 18: Faktoren zur Berechnung der Grenzen bei Kontrollkarten,.- Tabelle C 19: Zufallszahlen.- Tabelle C 20: Quadratzahlen und Quadratwurzeln von 1 bis 1215.- D. Nomogramme.- Nomogramm D 1: Schwellenwerte t1 _?; f der t-Verteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 — ? (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad ƒ.- Nomogramm D 2: Schwellenwerte X21-?;ƒ der x2-Verteilung zur Wahrscheinlichkeit 1 — ? ?50% in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad ƒ.- Nomogramm D 3: Schwellenwerte X21- ?;f der x2-Verteilung zur Wahrscheinlichkeit 1 — ? ?50% in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad ƒ.- Nomogramm D 4: Schwellenwerte un ?1- ? zur Berechnung der einseitigen Zu- fallsschranken für die Extremwerte einer Stichprobe aus einer Normalverteilung.- Nomogramm D 5: Relative Weite p des Vertrauensbereichs für den Mittelwert µ einer Normalverteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 - ? = 95% ..- Nomogramm D 6: Relative Weite p des Vertrauensbereichs für den Mittelwert µ einer Normalverteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 - ? = 99%.- Nomogramm D 7: Relative Weite p des Vertrauensbereichs für den Mittelwert µ einer Normalverteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 - ? = 99,9%.- Nomogramm D 8: xU- und x0-Faktoren zur Berechnung der einseitigen Vertrauensgrenzen für die Standardabweichung o der Normalverteilung bei großem Stichprobenumfang n.- Nomogramm D 9: xU-Faktor zur Berechnung der einseitigen unteren Vertrauensgrenze für die Standardabweichung o der Normalverteilung bei kleinem Stichprobenumfang n.- Nomogramm D 10: x0-Faktor zur Berechnung der einseitigen oberen Vertrauensgrenze für die Standardabweichung o der Normalverteilung bei kleinem Stichprobenumfang n.- Nomogramm D 11: Zweiseitiger Vertrauensbereich für den Parameter p derBinomialverteilung zur  Sicherheit S = 1 — ? = 95% ..- Nomogramm D 12: Zweiseitiger Vertrauensbereich für den Parameter p der Binomialverteilung zur Sicherheit S = 1 —? = 99% ..- Nomogramm D 13: Kriterium für den Ersatz der Binomialverteilung durch die Normalverteilung.- Nomogramm D 14: Einseitige Vertrauensgrenzen für den Mittelwert µ der Poisson-Verteilung zur Sicherheit S = 1 — ?.- Nomogramm D 15: Zweiseitiger Vertrauensbereich für die Korrelationszahl Q bei zweidimensionaler Normalverteilung zur Sicherheit S = 1 - ? = 95%.- Nomogramm D 16: Zweiseitiger Vertrauensbereich für die Korrelationszahl Q bei zweidimensionaler Normalverteilung zur Sicherheit S = 1 - ? = 99%.- Nomogramm D 17: Schwellenwerte r1_?;n zum Test der Hypothese Q = O bei zweidimensionaler Normalverteilung.
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